На шаре

Джон Хей

Прекрасные воспоминания. Изображение из фотогалереи DHD

Данные, собранные в ходе профессиональных футбольных матчей, убедительно свидетельствуют о том, что моменты, когда забиваются голы, являются довольно случайными с двумя небольшими изменениями: в среднем за определенный пятиминутный период в конце игры забивается больше голов, чем раньше; и «голы порождают голы» в том смысле, что чем больше голов уже забито к настоящему времени, тем больше среднее количество

голов в оставшейся части матча. Но эти два момента являютсяфакторами второго порядка : по большомусчету , простая модель, которая предполагает, что цели достигаются случайным образом с некоторой средней скоростью и независимо от результата, достаточно хорошо соответствует данным.

Показатель забитых мячей меняется в зависимости от того, какие команды играют, и существуют четкие закономерности, которые выделяют исторические периоды с большей или меньшей частотой, чем нынешние. Но предположим, что вы хотите оценить общее количество голов в любом из десяти или около того матчей, которые будут сыграны в течение выходных в английской премьер-лиге. Ваш местный букмекер не имеет лояльности к команде, которая омрачает его видение, он

просто заинтересован в том, чтобы правильно рассчитать свои шансы; и, независимо от игры, его оценка среднего общего количества голов редко отклоняется от диапазона 2,6–2,9. Тот факт, что он продолжает заниматься бизнесом, свидетельствует о его правоте в целом.

Счет в первую очередь

Если две команды равны (и игнорирует хорошо задокументированный феномен домашнего преимущества), то любой забитый гол с равной вероятностью будет выпадать любой из команд как поменять почту на 1win. Насколько велика вероятность в этих обстоятельствах, что команда, которая забьет первой, выиграет игру?

Интуитивно должно быть очевидно, что ответ на этот вопрос будет зависеть от среднего (среднего) количества голов, которые мы ожидаем забить. Ведь если это среднее число очень мало, то первый гол, вероятно, будет единственным голом, поэтому команда, которая его забьет, почти наверняка выиграет; в то время как если он большой (подумайте о баскетболе), то первый результат почти не имеет значения. Но как только мы определились со значением среднего количества голов, наша модель, согласно которой голы забиваются случайным образом, напрямую приводит к соответствующим шансам на 0, 1, 2 и т. Д. Голов за весь матч. Формула для расчета вероятности точно width: 8px;

height: 13px "/>цели, когда среднее ожидаемое число равно width: 15px;

height: 9px" />, is width: 110px;

height: 20px "/>, так называемое распределение Пуассона. В таблице показаны соответствующие шансы заданного количества голов для некоторых типичных значений ширины: 15 пикселей;

height: 9px "/>.

Количество голов

Поскольку нас интересуют только те матчи, в которых забит хотя бы один гол, мы должны увеличить эти вероятности, чтобы исключить беспроигрышные ничьи, и, следовательно, вероятность такого матча имеет ширину: 8 пикселей;

height: 13px "/>цели

height: 42px "/>

Чтобы решить нашу задачу, мы отдельно рассматриваем матчи с точно 1, 2, 3 и т. Д. Голами. Пусть ширина: 37 пикселей;

height: 17px "/>обозначают шанс того, что команда, которая забьет первой, выиграет игру, в которой будет забито точно width: 8px;

height: 13px" />, и let width: 34px;

height: 17px "/>быть шансом, что такая игра будет ничьей. Очевидно, что если в матче только одна цель, команда, которая забьет ее, должна победить, поэтому width: 67px;

height: 17px" />and width: 65px;

height: 17px "/>.

Если в матче две цели, наша модель подразумевает, что вторая цель с равной вероятностью достанется любой из команд, поэтому width: 142px;

height: 18px "/>. Продолжаем в том же духе. Матчи с нечетным числом целей никогда не разыгрываются, поэтому сначала предположим, что width: 73px;

height: 14px" />нечетное; тогда просто width: 66px;

height: 17px "/>, и мы утверждаем, что

height: 46px "/>

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что команда, забившая первый гол, выиграет при условии, что она забьет как минимум width: 8px;

height: 9px "/>из оставшейся ширины: 16px;

height: 12px" />цели. При предположении, что каждый из оставшихся голов с равной вероятностью будет забит любой командой, число, забитое первой командой, будет иметь биномиальное распределение Ширина корзины: 57 пикселей;

height: 18px "/>, и, следовательно, вероятность того, что ширина: 8px;

height: 9px" />равна

height: 49px "/>

Это упрощается до показанного выражения за счет симметрии Паскаля

s Треугольник вокруг его центра.

Когда ширина: 46 пикселей;

height: 13px "/>четное, аналогичный аргумент показывает, что width: 85px;

height: 18px" />, и теперь

height: 44px "/>

так как, чтобы нарисовать, другая команда должна точно набрать width: 8px;

height: 9px "/>из оставшейся ширины: 43px;

height: 12px" />цели.

Если ширина: 17 пикселей;

height: 13px "/>и width: 14px;

height: 12px" />обозначают общие шансы на то, что команда, забившая первой, выиграет или сыграет вничью соответственно, а затем

height: 37px "/>

Используя выражения, показанные выше, и подавляя работу, обнаруживается, что они сводятся к

height: 47px "/>

height: 46px "/>

Они действительны для всех значений ширины: 15 пикселей;

height: 9px "/>, но их нелегко понять, не попробовав некоторые числа. В таблице показано, как мало они различаются, когда width: 15px;

height: 9px" />падает между 2,0 и 3,4, что охватывает большинство совпадений. представляет интерес.

В первую очередь необходимо забивать

Итак, в премьер-лиге, в самом профессиональном футболе, мы ожидаем, что команда выиграет примерно 2/3 матчей, в которых она забьет первой, и сыграет примерно 1/5 из них. Это дает радость оттого, что если ваша команда забьет первой, она проиграет только один раз из семи. Вы можете проверять результаты матчей каждую неделю и в течение сезона по информации в газетах. Реальные данные хорошо соответствуют этим

пропорциям.

Красные карточки

Герт Риддер и двое голландских коллег использовали ту же модель Пуассона, чтобы решить, когда в интересах успеха команды игроку следует рискнуть быть удаленным за «лишение явной возможности забить гол». В их намерения не входилопропагандировать нечестную игру, а просто провести академическое исследование вопроса, с которым игроки могут столкнуться во время матча. Чтобы ответить на этот вопрос, они должны были оценить,

какая разница, если в одной команде осталось всего десять игроков.

Удаление обычно имеет другие последствия. Игрок может быть оштрафован и запрещен к участию в ряде будущих матчей; его клуб может быть оштрафован или даже иметь вычитание очков, если его дисциплинарные данные плохие. Эти дополнительные факторы были проигнорированы - достаточно сложно разобраться с неопределенностями в оставшейся части нынешнего матча.

Они собрали данные по 340 голландским играм, в которых только в одной команде был уволен один игрок. Модель Пуассона использовалась для оценки количества голов, которые каждая команда должна была бы забить в оставшееся после увольнения время, и это сравнивалось с тем, что произошло на самом деле. Нет ничего неизбежного - у некоторых команд было всего десять человек, но общий смысл был ясен. Удаление человека

уменьшает ожидаемое количество голов, которое ваша команда забьет, и увеличивает ожидаемое количество голов для ваших оппонентов. Эти данные позволили Риддеру и его коллегам оценить масштабы этих изменений в зависимости от того, сколько времени осталось на игру. Две модели, в зависимости от того, будет ли он удален или нет, дают оценки соответствующих шансов на то, сколько голов каждая команда забьет в

оставшейся части игры.

Конечно, если удаление может привести к штрафному удару, то совершение нарушения почти никогда не будет оправдано. Так что сконцентрируйтесь на случаях, когда потенциальное нарушение произойдет за пределами штрафной площади. Что должен сделать циничный защитник (исключительно для того, чтобы увеличить шансы своей команды на победу или ничью)?

Нам нужно знать, насколько велика вероятность того, что гол будет забит, если нарушение не будет совершено. Это редко бывает легким суждением, но оно крайне важно для принятия правильного решения. Это решение можно аккуратно описать, указав времяперехода T , соответствующее конкретной вероятности того, что цель будет достигнута. Игрок должен рискнуть получить красную карточку тогда и только тогда, когда решающий момент наступает во времяТ или позже. Для игр на хорошем профессиональном уровне снимок значений

Шанс гола

Напомним, что эта таблица применяется, когда «профессиональный фол» не привел к штрафному удару. Даже лучшие игроки спотыкаются или ошибаются при ударе, поэтому вероятность гола лишь в редких случаях может быть близка к 100%. Игрок, которого удаляют в таких обстоятельствах до перерыва, скорее всего, ошибся в расчетах! С другой стороны, в очень поздней тайтовой игре таблица показывает, что если у атакующего есть немалая вероятность забить гол, то неприятный поступок может быть лучшим для вашей команды. Как футбольный энтузиаст, мне не нравится этот смысл таблицы. Но это предполагает желательность изменения правил футбола для поощрения честной игры: разрешить судье назначить пенальти (или даже гол), если защитник удален при таких обстоятельствах,независимо от места совершения преступления !

Об авторе

Джон Хей - читатель по математике и статистике в Университете Сассекса. Его книга «Принимая шансы» , направленная на то, чтобы помочь обычному человеку понять идеи вероятности, была рассмотрена вPlus .

Эта статья также опубликована в нашем бесплатном математическом журнале Plus.

Популярные слоты

Автор: Вероника Позднякова
Дата публикации: 05.27.2021
Рейтинг:
4.2/5